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基于直觉模糊决策算法的排课系统选择研究

  2017-06-07   来源:培训学校管理软件 
排课系统对于学校的决策者和管理者来说都至 关重要。排课系统管理中一个非常重要的课题就是 排课系统的选择问题,而排课系统的选择问题本质 上是一个多属性群决策问题[1]。 多属性决策算法是现代决策理论的重要组成部 分[2]。1986 年,保加利亚学者 Atanassov 提出了直 觉模糊集[3],其本质是模糊集[4]的一种广义形式。 在直觉模糊环境下,文献[5]基于算术平均算子定 义了运算法则,并且建立了一系列直觉模糊信息集 成算子方法。基于自信度概念,文献[6]研究了自 信直觉模糊加权平均算子、自信直觉模糊加权几何 算子。在直觉模糊数的隶属函数与非隶属函数中引 入概率和函数及比例分配规则,文献[7]构造了直 觉模糊加权中性平均算子、直觉模糊加权中性几何 算子。针对决策信息为区间直觉梯形模糊数的 MADM 问题,文献[8]提出了一种基于区间直觉梯 形模糊几何加权 Heronian 平均算子的决策方法。 这些运算法则都是基于 Algebraic 范数提出的,而 Algebraic 范数只是 Archimedean 范数的一种运算形 式[10],该算法可使决策过程中的决策方法更加灵 活,从而做出科学合理的决策。 此次研究基于 Archimedean 范数,提出一种新 的 GIFHG 算子,并且研究其性质,同时探讨 GIFHG 算子的几种常用形式及其加权形式,最后构建直觉 模糊多属性决策算法,并用自动排课系统选择实例 对提出的决策方法进行验证。 1 基本理论知识 1. 1 直觉模糊集 定义 1 [3] 设 X 是一个非空集合,X 上的一个 直觉模糊集定义为 A = { ( x,μA ( x) ,νA ( x) ) | x ∈ X} ( 1) 式中: μA ( x) 、νA ( x) 分别表示 X 上元素 x 属于集合 A 的隶属度和非隶属度,且满足 0 ≤ μA ( x) + νA ( x) ≤ 1 为了 计 算 方 便,称 α = ( μ,ν) = ( μA ( x) , νA ( x) ) 为一个直觉模糊数( IFN) [5],它的补为 αc = ( ν,μ) 。 定义 2 [5] 设 α = ( μ,ν) 是一个 IFN,那么称 Δ( α) = μ - ν 和 Φ( α) = μ + ν 分别为 α 的得分函 数和精确函数。若 αi = ( μi,νi ) ( i = 1,2) 为两个 IFNs,则有: ( i) 若 Δ( α1 ) > Δ( α2 ) ,那么 α1 > α2 ; ( ii) 若 Δ( α1 ) = Δ( α2 ) ,那么 ( a) 当 Φ( α1 ) > Φ( α2 ) 时,α1 > α2 ; ( b) 当 Φ( α1 ) = Φ( α2 ) 时,α1 = α2。
1. 2 基于 Archimedean 范数的运算法则 由文献[10]可知,严格 Archimedean T 范数可由 一个严格递减的加性算子 g(·) 表示为 T( x,y) = g -1 ( g( x) + g( y) ) ,其中 g( 1) = 0,g( 0) = 1。基于 对偶性质,有 S( x,y) = h -1 ( h( x) + h( y) ) ,其中 h( t) = g( 1 - t) 。因为 g( t) 严格单调递减,则 h( t) 为严格单调递增函数,且 h( 0) = 0,h( 1) = 1 [10]。 定义 3 [11] 设 α = ( μ,ν) ,α1 = ( μ1,ν1 ) ,α2 = ( μ2,ν2 ) 为 IFNs,则有 ( i) α1 ⊕ α2 = [h -1 ( h( μ1 ) + h( μ2 ) ) ,g -1 · ( g( ν1 ) + g( ν2) ) ] ( ii) α1  α2 = [g -1 ( g( μ1 ) + g( μ2 ) ) ,h -1 · ( h( ν1 ) + h( ν2) ) ] ( iii) λα = [h -1 ( λh( μ) ) ,g -1 ( λg( ν) ) ] λ > 0 ( iv) αλ = [g -1 ( λg( μ) ) ,h -1 ( λh( ν) ) ] λ > 0 1. 3 Heronian 平均 定义 4 [12] 假设 ai ( i = 1,2,…,n) 为一组非负 实数,且 p,q > 0,则 Heronian 平均满足如下形式: HMp,q ( a1,a2,…,an ) = 2 n( n + 1) ∑ n i≤j ap ( i a ) q j 1 p +q ( 2) 2 GIFHG 算子及其性质 由于直觉模糊决策算法中需要将某一个备选方 案在不同指标属性下的决策信息进行综合集结,并 且考虑属性指标间的内在联系,提出广义直觉模糊 Heronian 几何算子,并探究其基本性质。 定义 5 令 αi ( i = 1,2,…,n) 为一列 IFN,且参 数 p,q > 0,则称 GIFHM( α1,α2,…,αn ) = 1 p + q i≤j ( pαi ⊕ qα ) j 2 n( n +1) , ( 3) 为广义直觉模糊 Heronian 几何算子,简记为 GIFHG 算子。 基于定义 3 中的运算法则,有如下结论成立。 定理 1 令 αi = ( μi,νi ) ( i = 1,2,…,n) 为一 列 IFNs,参数 p,q > 0,则运用 GIFHG 算子得到的集 成结果为 IFN,且满足 GIFHM( α1,α2,…,αn ) = 1 p + q i≤j ( pαi ⊕ qαj ) 2 n( n +1) = h -1 1 p + qh g -1 2 n( n + 1) ∑i≤j g( h -1 ( ph( μi ( ( ( ) + qh( μj ) ) ) ) ) ),g -1 ( · 1 p + qg h -1 2 n( n + 1) ∑i≤j h( g -1 ( pg( νi ( ( ( ) + qg( νj ) ) ) ) ) ) ) ( 4) 下面探讨 GIFHG 算子满足的一些性质。 性质 1 ( 幂等性) 若所有的 IFNαi ( i = 1,2, …,n) 相等,即对 i = 1,2,…,n,有 αi = α ,那么 GIFHG( α1,α2,…,αn ) = α ( 5) 性质 2 ( 单调性) 对任意两列 IFNαi,βi ( i = 1, 2,…,n) ,如果有 μαi ≤ μβi ,ναi ≥ νβi ( i = 1,2,…, n) ,那么 GIFHG( α1,α2,…,αn ) ≤ GIFHG( β1,β2,…,βn ) ( 6) 性质 3 ( 有界性) 令 αi = ( μi,νi ) ( i = 1,2, …,n) 为一列 IFN。若 αL = ( mini { μi} ,maxi { νi} ) , αU = ( maxi { μi} ,mini { νi} ) ,那么 αL ≤ GIFHG( α1,α2,…,αn ) ≤ αU ( 7) 性质 4 ( 置换不变性) 令 αi ( i = 1,2,…,n) 是 一列 IFN。若 ( α 珘1,α 珘2,…,α 珘n ) 是 ( α1,α2,…,αn ) 的 任意一种排列,那么 GIFHG( α1,α2,…,αn ) = GIFHG( α 珘1,α 珘2,…,α 珘n ) ( 8) 3 几种常用 GIFHG 算子及其加权形式 研究对加性算子 g( t) 和参数 p,q 赋予不同的 函数和数值时,得到 GIFHG 算子的几种常用形式, 同时给出 GIFHG 算子的加权形式。 3. 1 赋予 g( t) 不同的函数 Case1 令 g( t) = - lg( t) ,那么 GIFHG 算子转 变为直觉模糊 Heronian 几何( IFHG) 算子: IFHG( α1,α2,…,αn ) = ( 1 - ( 1 - ∏i≤j ( 1 - ( 1 - μi ) p ( 1 - μj ) q ) 2 n( n +1) ) 1 p +q, ( 1 - ∏i≤j ( 1 - μp i μq j ) 2 n( n +1) ) 1 p +q ) ( 9) Case2 令 g( t) = log 2 - t ( ) t ,那么 GIFHG 算 子变为直觉模糊 Einstein Heronian 几何 ( IFEHG) 算子:
IFEHG( α1,α2,…,αn ) = ( U( μi,μj ) + 3V( μi,μj ) ) 1 p +q - ( U( μi,μj ) - V( μi,μj ) ) 1 p +q ( U( μi,μj ) + 3V( μi,μj ) ) 1 p +q + ( U( μi,μj ) - V( μi,μj ) ) ( 1 p +q , 2( R( vi,vj ) - S( vi,vj ) ) 1 p +q ( R( vi,vj ) + 3S( vi,vj ) ) 1 p +q - ( R( vi,vj ) - S( vi,vj ) ) 1 ) p +q ( 10) 其中 U( μi,μj ) = ∏i≤j ( ( 1 + μi ) p ( 1 + μj ) q + 3( 1 - μi ) p ( 1 - μj ) q ) 2 n( n +1) V( μi,μj ) = ∏i≤j ( ( 1 + μi ) p ( 1 + μj ) q - ( 1 - μi ) p ( 1 - μj ) q ) 2 n( n +1) R( vi,vj ) = ∏i≤j ( ( 2 - vi ) p ( 2 - vj ) q + 3v p iv q j ) 2 n( n +1) S( vi,vj ) = ∏i≤j ( ( 2 - vi ) p ( 2 - vj ) q - vp iv q j ) 2 n( n +1) 3. 2 参数 p,q 赋予不同的实数值 Case1 若 q →0,那么 GIFHG 算子退化为广义 直觉模糊几何( GIFG) 算子: GIFG( α1,α2,…,αn ) = 1 p  n i = 1 ( pαi ) 1 n = h -1 1 p h g -1 1 n ∑ n i = 1 g( h -1 ( ( ( ( ( ph( μi ) ) ) ) ) ), g -1 1 p g h -1 1 n ∑ n i = 1 h( g -1 ( ( ( ( pg( νi ) ) ) ) ) ) ) ( 11) Case2、若 p = 1 且 q →0 ,那么 GIFHG 算子退化 为直觉模糊几何( IFG) 算子: IFG( α1,α2,…,αn ) =  n i = 1 α 1 n i = g -1 1 n ∑ n i = 1 ( g( μi ) ),h -1 1 n ∑ n i = 1 ( ( h( νi ) ) ) ( 12) Case3、若 p = q = 1,那么 GIFHG 算子变为广义 直觉模糊交互平方 Heronian 几何( GIFISHG) 算子: GIFISHG( α1,α2,…,αn ) = 1 2 i≤j ( αi ⊕ α ) j 2 n( n +1) = h -1 1 2 h g -1 2 n( n + 1) ∑i≤j g( h -1 ( h( μi ( ( ( ( ) + h( μj ) ) ) ))), g -1 1 2 g h -1 2 n( n + 1) ∑i≤j h( g -1 ( g( νi ( ( ( ) + g( νj ) ) ) ))))。 ( 13) 3. 3 GIFHG 算子的加权形式 考虑到在实际决策问题中不同属性信息的重要 性程度通常不相同,令 αi ( i = 1,2,…,n) 为一列 IFN,其权重向量为 w = ( w1,w2,…,wn ) Τ 且 wi ≥ 0( i = 1,2,…,n) ,∑n i = 1 wi = 1,参数 p,q > 0 ,则称 GIFWHG( α1,α2,…,αn ) = 1 p + q i≤j ( pαwi i ⊕ qαwj j ) 2 n( n +1) = h -1 1 p + qh g -1 2 n( n + 1) ∑i≤j g( h -1 ( ph( g -1 ( wig( μi ) ) + qh( g -1 ( ( ( ( ( wj g( μj ) ) ) ) ) ) ) ), g -1 1 p + qg h -1 2 n( n + 1) ∑i≤j h( g -1 ( pg( h -1 ( wih( νi ) ) + qg( h -1 ( ( ( ( wj h( νj ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( 14) 为广义直觉模糊加权 Heronian 几何( GIFWHG) 算子。 4 基于直觉模糊决策算法的排课系统选择 及其应用 4. 1 基于直觉模糊决策算法的排课系统选择 针对直觉模糊环境下的排课系统选择问题,令 X = { X1,X2,…,Xm } 为一组排课系统,C = { C1, C2,…,Cn } 为属性指标集合,其权重向量为 w = ( w1,w2,…,wn ) Τ 且满足 wi ≥ 0( i = 1,2,…,n) , ∑ n i = 1 wi = 1。决策过程中决策者不仅要考虑到属性之 间的联系,而且决策者提供的备选方案 Xi 在属性指 标 Cj 下的决策信息需以直觉模糊数 αij = ( μij,νij) 的形式给出。从而,排课系统集合 X 在属性指标集 C 下的决策信息组成一个直觉模糊决策矩阵 D = ( αij) m ×n。 利用 GIFWHG 算子处理上述排课系统选择问 题的步骤如下: 步骤 1: 通过以下方法将矩阵 D = ( αij) m ×n 转化 为标准直觉模糊决策矩阵 B = ( βij) m ×n : βij = αij, Cj 为效益型 αc ij, Cj { 为成本型 ( 15) 其中 αc ij = ( νij,μij) 。 步骤 2: 运用 GIFWHG 算子计算各排课系统 Xl 的综合属性值 βl。 步骤 3: 分别计算各综合属性值 βl ( l = 1,2,…, m) 的得分函数 Δ( βl ) 和精确函数 Φ( βl ) ,并将综 合属性值 βl ( l = 1,2,…,m) 进行大小排序。
步骤 4: 基于综合属性值 βl ( l = 1,2,…,m) 的 排序结果对各排课系统进行优劣排序,并选择综合 性能最优的排课系统。 4. 2 案例分析 某高校计算机与信息学院为了响应学校自动化 办公 的 号 召,欲面向市场购买 1 套 自 动 排 课 系 统[12]。经过前期的简历筛选和初审,现有 4 套自动 排课系统 Xi ( i = 1,2,3,4) 符合条件可供选择。为 了从这 4 套自动排课系统中选择出 1 套综合性能最 高的自动排课系统,由该校人事部门和学院领导组 成的专家小组将对这 4 套自动排课系统进行各方面 性能评估,包括系统效率 C1、排课合理性 C2 和系统 替代性 C3,且这 3 个属性指标的权重向量为 w = ( 0. 3,0. 4,0. 3) Τ。已知自动排课系统在上述属性指 标下的评价偏信息为 αij = ( μij,νij) ,于是所有的评 价信息构成一个直觉模糊决策矩阵 D = ( αij) 4 ×3, 见表 1。 表 1 直觉模糊决策矩阵 D C1 C2 C3 X1 ( 0. 3,0. 4) ( 0. 7,0. 2) ( 0. 5,0. 3) X2 ( 0. 5,0. 2) ( 0. 4,0. 1) ( 0. 7,0. 1) X3 ( 0. 4,0. 5) ( 0. 7,0. 2) ( 0. 4,0. 4) X4 ( 0. 2,0. 6) ( 0. 8,0. 1) ( 0. 8,0. 2) 运用提出的排课系统选择方法对自动排课系统 进行排序,并选择出综合性能最高的自动排课系统。 步骤 1: 由于属性指标 Ci ( i = 1,2,3) 均为效益 型指标,因此不需要对决策矩阵 D 进行标准化处理。 步骤 2: 运用 GIFWHG 算子( 公式( 14) ,不失一 般性,取 g( t) = lg 2 - t ( ) t ,p = q = 1) 计算各自动 排课系统 Xl 的综合属性值 αl ( l = 1,2,3,4) : α1 = ( 0. 374 1,0. 295 0) α2 = ( 0. 437 5,0. 129 1) α3 = ( 0. 356 9,0. 358 2) α4 = ( 0. 422 2,0. 260 0) 步骤 3: 分别计算各综合属性值 αl ( l = 1,2,3, 4) 的得分函数 Δ( αl ) ( l = 1,2,3,4) ,结果如下: Δ( α1 ) = 0. 079 1 Δ( α2 ) = 0. 308 3 Δ( α3 ) = - 0. 001 3 Δ( α4 ) = 0. 162 3 因为 Δ( α2 ) > Δ( α4 ) > Δ( α1 ) > Δ( α3 ) ,所以 α2 > α4 > α1 > α3,从而这4 套自动排课系统的综合 性能由高到低的排序为 X2、X4、X1、X3,即综合性能最 高的自动排课系统为 X2。该决策方法具有以下优点: ( 1) 该决策方法考虑到了决策过程中输入的属 性信息存在相互关系的情形,这使得决策结果更加 合理可靠。 ( 2) 在决策过程中,对于参数 p,q 的选择可以 依据决策者的主观态度的变化而改变。同时,选择 什么样的参数 ( p,q) ,也能够判断决策者是冒险型、 保守型和中立型中的哪一种类型。 ( 3) 该决策方法适用的范围更为广泛。当加性 算子和参数取不同的函数与数值时,可以得到不同 的算子进行信息的集成。 5 结 语 本次研究在直觉模糊环境下,结合 Archimedean 范数,并运用 Heronian 平均,提出了一种 GIFHG 算 子,其能够在信息集成过程中充分考虑到属性信息 值之间的内在联系。探讨了 GIFHG 算子的性质和 几类特殊平均及其加权算子形式。最后基于提出的 GIFWHG 算子构建了一种新的直觉模糊决策算法, 并将其应用于自动排课系统选择过程中,验证了该 决策方法的可行性与有效性。